Thứ Sáu, 7 tháng 3, 2014
Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử phonon âm)
5
22
12
1 2 1 2
12
cos cos sinh sin sinh
2
z
kk
k d k a k b k a k b
kk
1/2
2
1
1
2
sz
k m E k
;
1/2
2
1
2
sz
k m r k
Từ đó ta có:
2 2 2 2 2
2
cos
22
n n z
kn
k k d
m m d
(1.4)
cv
r
là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng lượng hai
bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng chênh lệch của các vùng dẫn
c
và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị
v
của hai lớp bán dẫn kế tiếp. Đối với
các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến, phương trình Schrodinger có dạng:
2
2
2
r r r E r
m
Vì
r
là tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử
r
có dạng hàm Block thỏa mãn
điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế. Hàm sóng tổng cộng của điện tử
trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúng liên kết mạnh) có dạng[15]:
1
1
exp exp
d
N
x y z s
m
xy
r i k x k y ik md z md
L L N
(1.5)
Trong đó, L
x
, L
y
là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d và N
d
là chu kỳ và số
chu kỳ siêu mạng hợp phần;
()
s
z
là hàm sóng của điện tử trong hố cô lập.
1.2. Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên
độ trong bán dẫn khối.
Hệ số hấp thụ sóng điện từ chỉ phụ thuộc vào phần thực của tensor độ dẫn điện. Khi
không xét tới tương tác điện tử-phonon cũng như bỏ qua các tương tác khác, biểu thức phần
thực độ dẫn điện có dạng giống như quy tắc Fermi:
2
,
Re
m
E
xx m n
mn
e
m H n E E
Z
(1.6)
6
Đại lượng đặc trưng cho quá trình giảm cường độ của sóng điện từ khi đi sâu vào
trong bán dẫn gọi là hệ số hấp thụ sóng điện từ, ký hiệu
zz
, có dạng[1,6,19,22,23,25]
4
Re
zz zz
cN
(1.7)
Ở đây, N
*
là chiết suất tinh thể; c là vận tốc ánh sáng.
Hệ số hấp thụ sóng điện từ tỷ lệ thuận với
Re
, vì vậy hệ số hấp thụ tuyến tính sóng
điện từ không phụ thuộc vào cường độ điện trường
E
(ở đây ta chỉ tính đến số hạng bậc nhất
của tensor độ dẫn cao tần). Trong trường hợp sóng điện từ có cường độ mạnh cao tần, đóng
góp của số hạng bậc cao vào tensor độ dẫn cao tần là đáng kể và phải được tính đến. Khi đó
xuất hiện sự phụ thuộc phi tuyến của tensor độ dẫn cao tần vào cường độ điện trường
0
E
của
sóng điện từ.Vì vậy, hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ là đại lượng phụ thuộc phi tuyến vào
cường độ điện trường
0
E
.
1.2.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối
Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt
trường sóng điện từ mạnh. Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
phephe
HHHH
(1.8)
Với:
+
k
kk
e
aa)t(A
c
e
kH
+
q
qqq
ph
bbH
+
k,q
qqkqkq
phe
bbaaCH
+
k
+
q
là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
k
là năng lượng của điện tử.
+
,
kk
aa
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
7
' ' , '
{ , } { , }=
k k k k k k
a a a a
;
''
[ , ]=[ , ] 0
k k k k
a a a a
+
,
bb
lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
' , '
[ , ]
k k k k
bb
;
''
[ , ]=[ , ] 0
k k k k
b b b b
+
q
C
là hằng số tương tác điện tử - phonon âm, có biểu thức:[16,19,22,23,25]
2
2
0
2
q
s
q
C
V
(1.9)
+
()
e
k A t
c
là hàm năng lượng theo biến
()
e
k A t
c
+
At
là thế vector của trường điện từ, được xác định bởi biểu thức:
0
1
( )sin
d A t
Et
c dt
Ta có
00
os( ) ( )
( ) os( ) os( )
E c c E c
A t c t c t
(1.10)
Từ đó ta suy ra Hamilton của hệ điện tử - phonon âm trong bán dẫn khối là:
,
k k q q q q k q k q q
k q q k
e
H k A t a a b b C a a b b
c
(1.11)
Để thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối, sử
dụng:
w
t
Tr
, với
w
là toán tử ma trận mật độ,
t
là kí hiệu trung bình thống kê
tại thời điểm t:
,
k
k k k k
t
nt
i i a a a a H
tt
(1.12)
Hay:
' ' ' '
' , '
()
, ' ( ) ( )
k
q q q q q q
k k k k k q k
q
k q k
t
nt
e
i a a k A t a a b b C a a b b
tc
(1.13)
8
Ta lần lượt tính từng số hạng.
k
nt
00
2
22
,
eE eE
1
il t
k k l
q
kl
q
C J J e
m m l
11
k k q k k q
q q q q
n N n N n N n N
k q k k i k q k k i
11
k q k k q k
q q q q
n N n N n N n N
k k q k i k k q k i
(1.20)
Biểu thức (1.20) là hàm phân bố điện tử không cân bằng trong bán dẫn khối. Phương
trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử
giam cầm trong bán dẫn khối .
1.2.2: Biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn
khối
2
2
0
2
2
2
1
,
0
eE
32
k
q
q k q
k
kq
q
C N n kJ k q k k
m
cE
(1.35)
Biểu thức (1.35), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn khối
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
9
CHO HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU
THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
2.1.Hamiltonian tƣơng tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần
Siêu mạng hợp phần là loại vật liệu bán dẫn có cấu trúc điện tử chuẩn hai chiều. Do
đó, phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần bị lượng tử hóa. Biểu thức
Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần khi có mặt trường
sóng điện từ ngoài biến điệu theo biên độ.
,,
,
n
n k n k q q q
n k q
e
H k A t a a b b
c
,'
', ,
, ',
n n z
q n k q n k q q
q n n k
C I q a a b b
(2.1)
+
k
;
q
là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
+
k
là năng lượng của điện tử.
+
q
: Tần số phonon âm.
+
,,
;
n k n k
aa
: Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái
,
nk
.
,'
, ', ' ', ' , , ' , ', ' , ', '
; ; ; ; ; 0
nn
n p n p n k n k k k n k n k n k n k
a a a a a a a a
+
q
b
,
q
b
: Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái
q
.
' ' , ' ' '
; ; ; ; ; 0
q q q q q q q q q q
b b b b b b b b
+
k
: Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng hợp phần.
+
At
là thế vector của trường điện từ xác định bởi biểu thức:
12
12
1 ( )
( ) sin( ) sin( )
At
E t e t e t
ct
(2.2)
10
22
0
12
1 2 1 1 2 2
2
( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )
2
e
E t e t e t t t
00
22
1 2 1 2
2
[ sin( ) sin( )] sin( ) sin( )
22
ee
t t t t
0
1 2 1 2
( ) | |
2sin os
2 2 2
e t t
c
1 2 1 2
00
( ) | |
sin os os( )sin( )
22
tt
e c e c t t
Do: ∆Ω=|β
1
-β
2
| <<Ω nên cos(∆Ωt) biến đổi cực chậm so với sin(Ωt), do đó ta có thể coi
cos(∆Ωt) như một hằng số khi sin(Ωt) thay đổi hay lấy tích phân theo t. Như vậy, để thuận
tiện tính toán sau này, ta chuyển:
0
00
os( ) os( ) ( )e c t e c E
00
( ) ( ) os( )E t E c t
0
()
: ( ) os( )
Ec
Suyra A t c t
(2.3)
+
q
C
là hằng số tương tác điện tử-phonon, phụ thuộc vào loại cơ chế tán xạ.
2
2
0
2
q
s
q
C
V
(2.4)
+
,'n n z
Iq
là thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần[11,12], có dạng:
, ' ' z
0
exp iq
d
N
n n z n n
I q z z z dz
(2.5)
+ Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng :
22
n
//
osk
2
n n n
k
k c d
m
(2.6)
2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần
Tương tự như cách làm đối với bán dẫn khối, để xây dựng phương trình động lượng tử
cho điện tử trong siêu mạng hợp phần chúng tôi sử dụng phương trình động lượng tử tổng
quát cho toán tử số hạt (hàm phân bố điện tử)
, , ,n k n k n k
t
n a a
:[3]
11
,,
,
,,
,
n k n k
nk
t
n k n k
t
aa
n
i i a a H
tt
(2.7)
ở đây
t
là trung bình thống kê của toán tử
;
w
t
Tr
, (
w
là toán tử ma
trận mật độ). Đặt biểu thức Hamiltonian (2.1) vào (2.7). Các số hạng có trong vế phải (2.7),
lần lượt được tính như sau:
Tính 3 số hạng trong vế phải của (2.7)
Thay các số hạng tính được vào (2.6), ta được phương trình:
, , , ,
12
12
12
2
12
1
// //
,,
cos cos
n k n k q
nn
n
n k n k q
Ft
i
k d k d
t
13
, , , ,
32
12
1 1 1 1
12
12
3
1
12
,
,,
,
n k n k q
nn
q n k q n k q q q
t
nq
ei
k k A t F t C I a a b b b
mc
23
13
12
1 1 1
,
,,
nn
n k n k q q q q
t
I a a b b b
(2.10)
Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:
12
12
12
1 2 1 2
1 2 1 2
0
, , , ,
0
12
// //
, , , , , ,
()
(cos cos ) ( ) ( )
n k n k q
nn
n
n k n k q n k n k q
Ft
i
t
e
k d k d k k A t F t
mc
(2.11)
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
12
12
, , , ,
ln ( ) 0
t
n p n p q
Ft
, ta dễ dàng tính được nghiệm của
phương trình thuần nhất trên có dạng:
12
1 2 1
1 2 1 2
2
0
// // 1 1
, , , , , ,
2
i
( ) exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q n k n k q
e
F t k d k d k k A t dt
mc
(2.12)
Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp biến thiên hằng số.
Đặt:
1 2 1 2
1 2 1 2
0
, , , , , , , ,
( ) ( )
n k n k q n k n k q
F t M t F t
(2.13)
12
Suy ra:
1 2 1 2
1 2 1 2
12
12
0
, , , , , , , ,
0
, , , ,
( ) ( )
()
( ) ( )
n k n k q n k n k q
n k n k q
F t F t
Mt
i F t i M t i
t t t
(2.14)
Thay (2.13) vào (2.10), thay (2.13), (2.12) vào (2.14) và đồng nhất số hạng của (2.10)
và (2.14) ta được kết quả sau:
1 4 2 3
2 1 2
4 2 1 3
1
1 1 1 1 1 1
43
11
,,
, , , ,
,,
( ) i
( ) ( )
n n z n n z
q n k q n k q q q q n k n k q q q q
t
t
n q n q
Mt
C I q a a b b b C I q a a b b b
t
12
12
12
1
// // 2 1 1
,,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q
e
k d k d k k A t dt
mc
Suy ra:
1 4 2 3
2 1 2
4 2 1 3
1
1 1 1 1 1 1
2
2
43
11
,,
, , , ,
,,
i
( ) ( ) ( )
t
n n z n n z
q n k q n k q q q q n k n k q q q q
t
t
n q n q
M t C I q a a b b b C I q a a b b b
1
12
12
12
1
// // 2 2
,,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q
e
k d k d k k A t dt
mc
(2.15)
Thay kết quả tìm được vào (2.14) ta được kết quả sau:
1 4 2 3
1 2 1 2
1 2 2 4 2 1 3
1
1 1 1 1 1 1
2
2
43
11
,,
, , , , , , , ,
,,
i
( ) ( ) ( )
t
n n z n n z
n k n k q q n k q n k q q q q n k n k q q q q
t
t
n q n q
F t C I q a a b b b C I q a a b b b
12
12
12
2
1
// // 2 2 1 1 2
,,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q
t
ie
k d k d t t k k A t dt dt
mc
(2.16)
Thay (2.16) vào (2.7) ta được:
''
4
4
1 1 1 1
'
2
4
1
,
2
2
,,
,,
,
,
()
1
( ) ( )
t
nk
zz
q q n k q q n k q q q
n n n n
t
nq
nq
nt
C I q dt C I q a a b b b
t
'
3
3
1 1 1 1
2
3
1
,
,
,
,
()
n n z
q n k q q q q
n k q
t
nq
C I q a a b b b
13
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
''
4
43
13
1 1 1 1 1 1 1 1
22
43
11
,
, , ,
,,
,,
( ) ( )
n n z z
q n k q q q q q n k q q n k q q q
n k q n n
tt
n q n q
C I q a a b b b C I q a a b b b
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
''
4
4
3
1 1 1 1 1 1 1 1
22
43
11
,
, , ,
,,
,,
( ) ( )
n n z z
q n k q q q q q n k n k q q q q q
n k q n n
tt
n q n q
C I q a a b b b C I q a a b b b
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
''
3
43
4
1 1 1 1 1 1 1 1
22
43
11
,
, , ,
,,
,,
( ) ( )
z n n z
q n k n k q q q q q q n k q q q q
n n n k q
tt
n q n q
C I q a a b b b C I q a a b b b
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
(2.17)
Toán tử số hạt của điện tử:
2
2
, , ,
()
n k n k n k
t
n t a a
' ' '
2
2
, , ,
()
n k q n k q n k q
t
n t a a
Toán tử số hạt của phonon:
q q q
t
N b b
1
q q q
t
N b b
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên
qq
và
Bỏ qua số hạng chứa
t
bb
và
t
bb
Khi đó phương trình (2.18) được viết lại dưới dạng:
''
'
2
2
,
2 2 2
2
,
,,
,
()
1
( ) ( ) ( ) 1
t
nk
z
q n k q q
n n n k q
nq
nt
C I q dt n t N n t N
t
14
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
'
'
2
22
,
,
'
// // 2 1 1
,
,
( ) 1 ( ) *
i
*exp cos cos ( )
n k q q
n k q
t
nn
n
n k q
n k q
t
n t N n t N
ie
k d k d t t q A t dt
mc
'
'
2
22
,
,
'
// // 2 1 1
,
,
( ) ( ) 1 *
i
*exp cos cos ( )
q n k q
n k q
t
nn
n
n k q
n k q
t
n t N n t N
ie
k d k d t t q A t dt
mc
'
'
2
22
,
,
'
// // 2 1 1
,
,
( ) 1 ( ) *
i
*exp cos cos ( )
q n k q
n k q
t
nn
n
n k q
n k q
t
n t N n t N
ie
k d k d t t q A t dt
mc
(2.19)
Chú ý
22
1
12
1
12
0
1 1 1 1 2 2 1
* * 2
0
1 1 2 1
*2
0
1 2 1 2
11
*2
[ os( ) os( )]
2
[sin( ) sin( )]
2
os( )sin( )]
22
tt
tt
tt
tt
tt
tt
cq E
ie ie
q A t dt c t c t dt
m c m c
qE
i t t
m
qE
i c t t
m
(2.20)
Đặt
12
1
||
2
. Với sóng điện từ có tần số biến điệu nhỏ so với tần số sóng tức là
12
1
( ( ))
2
, thì trong thời gian lấy tích phân là ngắn, có thể đưa gần đúng
2
os( ) os( ) os( )c t c t c
vào (2.20) ta thu được:
2
11
*
()
(sin( ) sin( ))
t
t
ie
q A t dt i t t
mc
(2.21)
Trong đó:
0
*
os( )
()
eq E c
m
Từ đây, chúng tôi nhận được:
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét