Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:
bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=
2. Radian: (rad)
rad
0
180
π
=
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
π
2
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:
2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,
2
2
- D
2k
2
2
B
2k
33
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
πα
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
y
x
o
180
O
+
−
x
y
O
C
A
B
D
x
y
B
α
M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
πα
2kAB +=
III. Đònh nghóa hàm số lượng giác:
1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang
2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác:
a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:
cos
sin
tg
cot
OP
OQ
AT
g BU
α
α
α
α
=
=
=
=
b. Các tính chất :
• Với mọi
α
ta có :
1 sin 1 hay sin 1
α α
− ≤ ≤ ≤
1 cos 1 hay cos 1
α α
− ≤ ≤ ≤
•
tg xác đònh
2
k
π
α α π
∀ ≠ +
•
cotg xác đònh k
α α π
∀ ≠
c. Tính tuần hoàn
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
g k g
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =
)( Zk
∈
IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
34
+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1=R
1−
1−
'x
'u
u
t
't
'y
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt
- 3
-1
- 3/3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
- 3
-1
- 3/3
1
1
-1
-1
-
π
/2
π
5
π
/6
3
π
/4
2
π
/3
-
π
/6
-
π
/4
-
π
/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3/3
3
B
π
/2
3/3
1
3
O
Góc
Hslg
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
π
2
sin
α
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0 0
cos
α
1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1 1
tg
α
0
3
3
1
3
kxđ
3
−
-1
3
3
−
0 0
cotg
α
kxđ
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3
−
kxđ kxđ
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
35
+
−
1. Cung đối nhau :
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)
2. Cung bù nhau :
và -
α π α
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)
3. Cung phụ nhau :
và
2
π
α α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
ππ
,…)
4. Cung hơn kém
2
π
:
và
2
π
α α
+
(Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)
5. Cung hơn kém
π
:
và
α π α
+
(Vd:
6
7
&
6
ππ
,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
− =
− =
− =
− =
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −
5. Cung hơn kém
π
:
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Ví dụ 1: Tính
)
4
11
cos(
π
−
,
4
21
π
tg
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()
2
cos( xxxA
++−++=
ππ
π
36
Đối cos
Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
π
tang , cotang
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2 2
cos sin 1
sin
tg =
cos
cos
cotg =
sin
α α
α
α
α
α
α
α
+ =
2
2
2
2
1
1 tg =
cos
1
1 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α
α
α
α
α α
+
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.
xxxx
2244
cossin1sincos
−=+
2.
xxxx
2266
cossin31sincos
−=+
2. Công thức cộng :
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tg
tg( + ) =
1 .
tg tg
tg( ) =
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−
−
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:
π
α α α
π
α α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4
3. Công thức nhân đôi:
α α α
α
α
α α
α α α
α
α
α
= −
= −
= −
= −
=
=
−
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2
2
1
tg
tg
tg
4 Công thức nhân ba:
3
3
cos3 4 cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −
37
2
2cos1
cos
2
α
α
+
=
2
2cos1
sin
2
α
α
−
=
ααα
2sin
2
1
cossin =
4
cos33cos
cos
3
αα
α
+
=
4
3sinsin3
sin
3
αα
α
−
=
5. Công thức hạ bậc:
α
α
α
α
α
α
α
2cos1
2cos1
;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+
−
=
−
=
+
=
tg
6.Công thức tính
sin ,cos ,tg
α α α
theo
2
t tg
α
=
22
2
2
1
2
;
1
1
cos;
1
2
sin
t
t
tg
t
t
t
t
+
=
+
−
=
+
=
ααα
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
Ví dụ:
1. Biến đổi thành tổng biểu thức:
xxA 3cos.5cos
=
2. Tính giá trò của biểu thức:
12
7
sin
12
5
cos
ππ
=
B
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+
+ =
−
− =
Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức:
3xsin 2x sinsin
++=
xA
9. Các công thức thường dùng khác:
38
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π π
α α α α
π π
α α α α
+ = − = +
− = + = − −
8
4cos35
sincos
4
4cos3
sincos
66
44
α
αα
α
αα
+
=+
+
=+
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
π
π
π π
π π
⇔
⇔
⇔ ≠ +
⇔ ≠
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
∈
)
Ví dụ : Giải phương trình:
1.
sin3 sin( 2 )
4
x x
π
= −
2.
4
3
cos)
4
cos(
ππ
=−
x
3.
xx 2sin3cos
=
4.
4 4
1
sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = −
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m (
Rm
∈∀
)
* Gpt : sinx = m (1)
• Nếu
1m >
thì pt(1) vô nghiệm
• Nếu
1m ≤
thì ta đặt m = sin
α
và ta có
x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
α π
α
π α π
⇔ ⇔
* Gpt : cosx = m (2)
• Nếu
1m >
thì pt(2) vô nghiệm
• Nếu
1m ≤
thì ta đặt m = cos
β
và ta có
39
x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
β π
β
β π
⇔ ⇔
−
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm
Rm
∈∀
)
• Đặt m = tg
γ
thì
(3) tgx = tg x = +k
γ γ π
⇔ ⇔
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm
Rm
∈∀
)
• Đặt m = cotg
δ
thì
(4) cotgx = cotg x = +k
δ δ π
⇔ ⇔
Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π π
π
π
π
= − ⇔ − +
⇔
= ⇔ +
= − ⇔ +
⇔
= ⇔
Ví dụ:
1) Giải các phương trình :
a)
=
1
sin2
2
x
b)
2
cos( )
4 2
x
π
− = −
c)
03)
6
2sin(2
=+−
π
x
d)
03)
3
cos(2
=−+
π
x
e)
12cos2sin
=+
xx
f)
xxx 2cossincos
44
=+
2) Giải các phương trình:
a)
4 4
1 cos sin 2 cos2x x x+ − =
c)
024sin)cos(sin4
44
=−++
xxx
b)
6 6
sin cos cos 4x x x+ =
d)
3 3
1
sin .cos cos .sin
4
x x x x− =
e)
4)
2
.1(sincot
=++
x
tgtgxxgx
2. Dạng 2:
40
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
atg x btgx c
a g x b gx c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
(
0a ≠
)
Cách giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình :
2
0at bt c+ + =
(1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Ví dụ :
a)
2
2cos 5sin 4 0x x+ − =
b)
5
cos2 4 cos 0
2
x x− + =
c)
2
2sin 4 5cosx x= +
d)
2 cos cos2 1 cos2 cos3x x x x
= + +
e)
4 4
1
sin cos sin2
2
x x x+ = −
f)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+
xxx
π
g)
4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x+ = −
h)
0cos.sincossin
44
=++
xxxx
k)
0
sin22
cos.sin)sin(cos2
66
=
−
−+
x
xxxx
l)
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x
x
xx
x
3. Dạng 3:
cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c+ = ≠
Cách giải:
• Chia hai vế của phương trình cho
2 2
a b+
thì pt
2 2 2 2 2 2
(1) cos sin
a b c
x x
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
(2)
• Đặt
2 2 2 2
b
cos và sin
a
a
a b b
α α
= =
+ +
với
[
)
0;2
α π
∈
thì :
2 2
2 2
c
(2) cosx.cos + sinx.sin =
a
c
cos(x- ) = (3)
a
b
b
α α
α
⇔
+
⇔
+
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
Chú ý :
41
2 2 2
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a b c⇔ + ≥
Ví dụ : Giải các phương trình :
a) + = −cos 3 sin 1x x b)
2sin3cos
=+
xx
c)
4 4
4(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + =
d)
x
tgx
cos
1
3
=−
e)
3
1sincos2
2sincos
2
=
−−
−
xx
xx
d. Dạng 4:
2 2
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)a x b x x c x+ + = ≠
(1)
Cách giải 1:
p dụng công thức hạ bậc :
2 2
1 cos2 1 cos2
sin và cos
2 2
x x
x x
− +
= =
và công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin2
2
x x x=
thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho
2
cos x
ta được pt:
2
0atg x btgx c+ + =
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem
x k
2
π
= + π
có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:
031coscos.sin)31(sin3
22
=−+−−+
xxxx
d. Dạng 5:
(cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c+ + + =
(1)
Cách giải :
• Đặt
cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
t x x x t
π
= + = − ≤ ≤
Do
2
2
t 1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x
−
+ = + ⇒
• Thay vào (1) ta được phương trình :
2
1
0
2
t
at b c
−
+ + = (2)
• Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:
2 cos( )
4
x t
π
− =
tìm x.
42
Ví dụ : Giải phương trình :
sin2 2 2(sin cos ) 5 0x x x− + − =
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng :
(cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c− + + =
Ví dụ : Giải phương trình :
sin2 4(cos sin ) 4x x x+ − =
4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng
giác cơ bản đã biết
Ví dụ: Giải phương trình:
0
2
3
2sincossin
44
=−++
xxx
b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây:
A=0
. 0
B=0
A B
= ⇔
hoặc
A=0
. . 0 B=0
C=0
A B C
= ⇔
Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2x x x+ + =
b.
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
c.
3
2sin cos2 cos 0x x x+ − =
d.
03)
4
sin(2cos222sin
=++++
π
xxx
c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
01cos2cos3cos
=−−+
xxx
b.
01cos42coscos4
3
=+−−
xxx
c.
1
2cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + =
d.
22cossin
24
=+ xx
* Phương trình có chứa
(cos sin ) và sinx.cosxx x±
43
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét